在数学世界中，当我们将两个向量相乘时，我们会得到一个新的向量，这个新向量垂直于原先的两个向量。这个过程就是求叉积。叉积能帮助我们找到垂直于两个给定向量的方向，计算两个向量张成的面积，甚至判断两个向量是否正交。
具体来说，两个向量的叉积会产生一个位于由这两个向量组成的平面内的垂直向量。
让我们首先尝试求两个三维向量的叉积吧！这是对两个三维向量进行的运算，结果是一个垂直于这两个原始向量的新向量，这个新向量的大小及方向有其特定的计算方式。
回顾一下向量的概念，
在一个坐标系中，我们有一个向量v→。这个向量的长度就是它的大小，其方向也已明确标出。如果我们要求两个向量a→和b→的叉积，其结果将是一个新的向量c→，这个过程如下图所示:
请注意，当求叉积时，你会注意到有两个方向垂直于这两个原向量。一个是向上，另一个是向下。为了确定叉乘向量的方向，我们需要使用右手定则。
使用右手法则，我们可以握住右手，让食指指向第一个向量的方向。然后，将中指转向第二个向量的方向。举起你的大拇指。你的拇指现在应该指向叉乘向量的方向。
重要的是，如果你改变了向量的顺序（即切换a→和b→），叉积向量的方向将会相反。这表明叉积运算是不可交换的，顺序在此非常重要!
叉积的公式
外积是特别定义在三维向量上的运算。我们可以将向量表示为分量的形式。例如，取向量a→，
其x分量为a1，y分量为a2，z分量为a3。现在，让我们考虑如下两个向量:
a→和b→的叉积可以通过以下公式计算:
虽然这个公式可能看起来有些复杂，但它是通过3×3矩阵的行列式推导而来的。
关于行列式的知识
对于2×2矩阵和3×3矩阵的行列式公式，我们可以这样理解：
对于二阶行列式：
而对于三阶行列式：
现在，我们可以将向量a→和b→表示为3×3矩阵的行列式形式，如以下所示:
展开并分离这个行列式，我们就能得到之前展示的公式。
请注意：在计算中，向量i→、j→和k→是标准基向量，它们必须按照特定的顺序出现。
单位向量的叉积特性
我们来看一个具体的例子，求向量a和向量b的叉积，以及向量b和向量a的叉积。
例如：求 a × b, 和 b × a。
首先求 a × b:
(我们将使用已知的行列式公式来计算外积)
接着求 b × a:
一个重要的应用是利用向量的叉积来计算给定两个共点向量的平行四边形面积。
叉积的应用
为了证明叉积的矢量长度满足特定公式，我们假设有两个向量u和v...