把握立体几何的解题之道
立体几何的探索之路，常常伴随着平移与垂直的巧妙运用。空间向量的方法，如同代数之钥，为解决立体几何问题提供了新的途径。两向量的共线与数量积，皆有助于平行与垂直关系的明确，以及线线、线面夹角的计算。合理运用向量，不仅让解题思路更为顺畅，还简化了复杂的运算过程。
1. 证明平行与垂直
具体操作中，我们可依赖共线向量基本定理来证明向量的平行性。当需要证明线线、线面平行时，这成为了一种常用手段。首先确认直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再寻找方向向量上的一个点不属于该平面，从而得出线面平行的结论。对于垂直性的证明，向量方法同样适用。
例证一： 如图所示，e、f分别为空间四边形abcd中ab、cd的中点。我们可以证明ad、ef、bc共同存在于同一平面内。
例证二： 已知三点a（1，-2，11）、b（4，2，3）、c（6，-1，4），通过分析向量的关系可以判断三角形abc的性质。
分析过程强调向量的关系和计算，最终得出δabc为直角三角形的结论。
2. 求解角度与距离
若要求解线面角、二面角以及距离问题，则需要引入平面法向量的知识。法向量是垂直于平面的向量，它可以帮助我们转化异面直线所成的角、直线与平面的夹角以及二面角的问题为向量的夹角问题。利用点面距离的公式，可以求出点到平面的距离。
例证三： 在给出的长方体模型中，通过建立空间直角坐标系，我们可以求解异面直线ae与bf所成的角、平面bdf与平面aab所成二面角的大小以及点a到平面bdf的距离。
解题过程涉及坐标计算、向量关系的分析和计算，最终得出所需的角度和距离。
空间向量的应用价值