在长期的实践探索中，人们认识到频率具有稳定性这一特性。当实验次数不断增加时，频率会稳定在某个数值附近，这一现象揭示了事件发生可能性的大小可以用一个特定的数值来表征。这使人们逐渐领悟到概率的客观存在，并从频率的性质中汲取灵感，抽象出了概率的定义。频率的稳定性是概率客观存在的基础，而伯努利大数定理则以严密的数学语言证明了这一稳定性。
在进一步了解伯努利大数定理之前，我们先来探讨一下大数定律。
大数定律表明，随机事件a的频率f(a)随着重复试验次数n的增大，会展现出稳定性，且趋于某个常数。这种频率的稳定性为概率的定义提供了客观依据。
接着我们来谈及伯努利大数定理。
假设存在一组独立同分布的随机变量x1，x2，...，xn，它们的公共均值为μ。若这些随机变量的方差存在，并记为σ²。那么，对于任意给定的正数ε>0，存在一个数学表达式描述了当n趋于无穷大时，随机变量x的平均值xˉn与μ之间的关系。
这个表达式所表达的是“当n足够大时，xˉn将趋近于μ”。这里的“趋近”是概率意义上的，意味着尽管概率极小，但仍有发生意外的可能性（如上述表达式中的概率大于ε）。这种可能性随时间逐渐降低，这种收敛性在概率论中被称为“xˉn依概率收敛于μ”。
另外一个重要概念是中心极限定理。
该定理指出，当多个独立统计量的和被计算时，其平均值将趋向于正态分布，无论这些统计量的原始分布是什么。这里所提及的“趋向于正态分布”意味着如果从某个任意分布（不必是正态分布）的总体中随机抽取多个样本x1, x2, ..., xn，并计算这些样本的均值xˉ，重复此过程多次后得到的均值的分布将趋近于正态分布。
值得注意的是，无论最初的因素或条件是什么分布类型，只要它们是相互独立的并且数量足够多，那么它们的总和的平均值将趋向于正态分布。这在解决实际问题时尤为重要，比如研究人的身高、物理实验误差等。在实际情况中，正态分布在诸多领域有着广泛的应用。
核心观点在于：无论之前各值的分布情况如何，其取样计算的平均值将符合正态分布。这一观点极大地扩展了正态分布的适用范围。但前提是取样必须是随机的且值之间相互独立。当取样数量大于30个（即n>30）时，中心极限定理的效果将更为明显。
以抛为例，当我们抛四次时，可能出现0、1、2、3、4次的正面次数的情况分别对应着一定的概率。这些概率分布情况可以通过大数定律来描述。随着抛次数的增加，这些概率分布情况将逐渐趋近于正态分布。
总结来说，这些统计学的原理和定理为我们提供了理解和分析随机现象的有力工具。它们不仅帮助我们预测事件的可能性大小，还揭示了随机现象背后的规律性。无论是频率的稳定性、伯努利大数定理还是中心极限定理，都在实际研究和应用中发挥着重要作用。