平行四边形的奇妙特性之一在于其对角线平方之和恰好等于四条边的平方之和。
对于椭圆而言，我们发现在其准线取一点并作出两条切线与椭圆相交，这两个切点的连线所在直线始终经过椭圆对应的焦点。
对于求解圆锥曲线的切线方程，一种常用的方法是利用隐函数求导。
推论：
关于曲线的切点弦方程是，当平面内一点与曲线相交形成两条切线时，这两切点所在直线的方程即为曲线的切点弦方程。
在椭圆取一点并连接两条斜率互为相反数的直线，这两条直线与椭圆相交于a、b两点，则直线ab的斜率保持为一个定值。
对于抛物线焦点弦的中点，其射影在准线上与焦点f的连线始终垂直于该焦点弦。
对于双曲线的焦点三角形，其内切圆圆心的横坐标始终等于长半轴长。
关于任意圆锥曲线，过其意一点作两直线，如果这两直线的斜率之积是一个定值，且两直线交曲线于a、b两点，那么直线ab总是会经过一个固定点。
在三角形中，角平分线定理揭示了角平分线与其对边上的两个段的关系。具体而言，一个角的平分线将该角所对的边分为两段，这两段与该角的其他两边对应成比例。
逆定理则指出，如果三角形一边上的某个点将这条边分为两段，且这两段与该边所对的角的两边对应成比例，那么这条线段与该角的顶点连线就是三角形的一条角平分线。
在几何学中，帕斯卡定理指出了一个有趣的规律：当六边形内接于二次曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）时，这六边形的三对对边的交点恰好位于同一直线上。
对于三角形的五心特性而言：
(1)三角形的重心与其三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。
(2)三角形的垂心是与其三顶点及任一顶点所构成的三角形的垂心相连的。
(3)三角形的垂心同时也是其垂足三角形的内心。
(4)三角形的外心位于其中点三角形的垂心上。
(5)关于三角形的重心有一个值得注意的特性，即其内部中点三角形的重心与其自身是重合的。
(6)关于中点三角形的外心还有一个有趣的规律，即它的外心也是其垂足三角形的外心。
(7)在三角形中，任一顶点到垂心的距离是外心到该边对边的距离的两倍。